Он возглавлял в Сибири новое направление хирургической коррекции врождённой и приобретённой сосудистой патологии головного мозга, способствовал внедрению в практику малоинвазивной спинальной хирургии, разрабатывал и внедрял концепцию целостного подхода к проблеме хирургического лечения и полноценной реабилитации нейрохирургических больных. 

В 1976 году окончил Новосибирский государственный медицинский институт с отличием. В 1993 году прошел усовершенствование в частной нейрохирургической клинике г. Талсы (США). В 1994 году прошёл курс повышения квалификации по ультразвуковым методам исследования мозгового кровообращения в г. Мюнстер (Германия). С 1995 по 1997 год работал в в должности старшего ординатора- нейрохирурга отдела Нейронаук Медицинского Центра Королевы, Ноттингем (Англия).

В феврале 1997 года прошел курс усовершенствования по нейрохирургии в Лондонском Королевском госпитале. 1-2 сентября 1997 года в Бирмингеме Алексей Леонидович Кривошапкин успешно сдал Межколлегиальный экзамен по специальности нейрохирургия (экзамен высшей ступени) и был признан четырьмя королевскими колледжами Объединенного королевства Великобритании специалистом-нейрохирургом. Внесен Генеральным медицинским советом в Регистр специалистов Великобритании. В 1998 году был избран членом Королевского Колледжа Хирургов Англии.

Научные исследования А.Л. Кривошапкина посвящены разработке важнейших разделов нейрохирургии, внедрению в практику высоко технологичных вмешательств на структурах головного мозга и его сосудах. Им разработаны и запатентованы технологии микрохирургического лечения артерио-венозных мальформаций головного мозга. Предложены оригинальные методы лечения церебрального ангиоспазма, развивающегося при спонтанном субарахноидальном кровоизлиянии.

Разработан способ дифференциальной диагностики типов отека головного мозга у нейрохирургических пациентов. Технология эндоваскулярного лечения разорвавшихся артериальных аневризм головного мозга в условиях церебрального вазоспазма, утвержденная Федеральной службой по надзору в сфере здравоохранения и социального развития, позволила значительно сократить летальность пациентов.

Впервые в регионе Сибири А.Л. Кривошапкин стал использовать нейронавигационные технологии при выполнении операций на структурах мозга. Доказал эффективность их применения для радикального удаления злокачественных опухолей головного мозга.

Совместно с учеными из Института катализа СО РАН им был создан отечественный биологический клей Сульфакрилат, который с успехом применяется в разных областях нейрохирургии. Разработана технология эндоваскулярной эмболизации артерио-венозных мальформаций и сосудистых опухолей головного мозга.